Marzo

Semana I y  II: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Empezamos revisando las
Superficies cuadráticas
Las secciones cónicas: elipse, parábola e hipérbola tienen su generalización al espacio tridimensional en elipsoide, paraboloide e hiperboloide.

 Definición  (superficies cuadráticas)

La gráfica de una ecuación de segundo grado en tres variables
\begin{displaymath}A\,x^2 + B\,y^2 + C\,z^2 + D\,x + E\,y + F\,z + G = 0\end{displaymath}
se conocen como superficies cuadráticas, salvo casos degenerados.
Observación: en la ecuación de segundo grado $A\,x^2 + B\,y^2 + C\,z^2 + D\,x + E\,y + F\,z + G = 0$ deliberadamente no hemos incluido los términos mixtos $xy$, $xz$ y $yz$, pues la presencia de estos genera superficies con rotación, tema que no trataremos en el curso
$\bullet \;$ Elipsoide
La gráfica de la ecuación:
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1\end{displaymath}
corresponde a un elipsoide. Es simétrico con respecto a cada uno de los tres planos coordenados y tiene intersección con los ejes coordenados en $(\pm a, 0, 0$), $(0, \pm b, 0)$ y$ (0, 0, \pm c)$ .La traza del elipsoide sobre cada uno de los planos coordenados es un único punto (! ) o una elipse. La figura 1 muestra su gráfica.

Figura 1. Elipsoide

$\bullet \;$ Paraboloide elíptico
La gráfica de la ecuación 
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{z}{c}\end{displaymath}
es un paraboloide elíptico. Sus trazas sobre planos horizontales $z = k$ son elipse :
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{k}{c}\end{displaymath}
Sus trazas sobre planos verticales, ya sean $x = k\;$ o $ ;y = k$ son parábola. 
Figura 2. Paraboloide elíptico


$\bullet \;$ Paraboloide hiperbólico
La gráfica de la ecuación: 

\begin{displaymath}\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = \frac{z}{c}\end{displaymath}
es un paraboloide hiperbólico. Sus trazas sobre planos horizontales$z = k$ son hipérbolas o dos rectas  ($z = 0$). Sus trazas sobre planos verticales paralelos al plano $xz$ son parábolas que abren hacia abajo, mientras que las trazas sobre planos verticales paralelos al plano $yz$ son parábolas que abren hacia arriba. Su gráfica tiene la forma de una silla de montar, como se observa en la figura 3.
Figura 3. Paraboloide  hiperbólico


$\bullet \;$ Cono elíptico
La gráfica de la ecuación:
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{z^2}{c^2}\end{displaymath}
es un cono elíptico.Sus trazas sobre planos horizontales $z\; = k\;$ son elipses.Sus trazas sobre planos verticales corresponden a hipérbolas o un par de rectas.Su gráfica se muestra en la figura 4. 

Figura 4. Cono elíptico


$\bullet \;$ Hiperboloide de una hoja
La gráfica de la ecuación: 
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1\end{displaymath}
es un hiperboloide de una hoja.Sus trazas sobre planos horizontales $z = k$son elipses 

\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 + \frac{k^2}{c^2}\end{displaymath}
Sus trazas sobre planos verticales son hipérbolas o un par de rectas que se intersecan (!). Su gráfica se muestra en la figura 5.
.
Figura 5. Hiperboloide de una hoja


$\bullet \;$ Hiperboloide de dos hojas
La gráfica de la ecuación: 
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1\end{displaymath}
es un hiperboloide de dos hojas.Su gráfica consta de dos hojas separadas.Sus trazas sobre planos horizontales $\;z = k\;$ son elipses y sobre planos verticales son hipérbolas (figura 6).

Figura 6. Hiperboloide de dos hojas
Semana III
En esta semana empezamos a estudiar el análisis de las curva de nivel
CURVAS DE NIVEL DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLES
De la misma forma que una función de una variable tiene una representación gráfica mediante una curva en el plano, cuando la función tiene dos variables podría representarse mediante una superficie en el espacio tridimensional. Dicha superficie estaría formada por los puntos de la forma (X, Y, f (X,Y)). No obstante, existe una forma de representar gráficamente funciones de dos variables en el plano: mediante las conocidas como curvas de nivel de la función. Dichas curvas se obtienen al cortar la superficie mediante planos horizontales a distintas alturas, de forma que todos esos cortes forman una familia de curvas que se proyectan sobre el plano OXY. Las curvas de nivel surgen por ejemplo en cartografía cuando se representan las distintas altitudes de una montaña mediante un conjunto de curvas; de esta forma se hace una representación en el plano de la superficie tridimensional de la montaña. En meteorología, las isobaras no son más que las curvas de nivel de la función que determina la presión atmosférica; es decir, son las curvas formadas por los puntos de igual presión atmosférica.
La siguiente figura muestra la representación gráfica de la función sen(X Y) mediante su superficie en el espacio y sus curvas de nivel en el plano.
DEFINICION: Las curvas de nivel de la función f (X,Y) son la familia de curvas de la forma: f (X,Y) = k para cada valor de k en R. Ejemplo:
Este ejemplo muestra la construcción de la familia de curvas de nivel de la función f (X,Y) = 3 X – Y.
Las curvas de nivel tienen la forma 3 X – Y = k o si se prefiere Y = 3 X – K, por tanto, son una familia de rectas paralelas como muestra la figura.
Semana IV: ANALISIS DEL DOMINIO

 Es esta seccion se establecen los valores para los cuales se define la función.
http://www.uam.es/personal_pdi/economicas/slgonzal/matematicas1_archivos/tema1-dominio-rango.pdf

No hay comentarios:

Publicar un comentario

Suscribirse a: Comentarios (Atom)